P为△ABC内部任一点，延长AP交外接圆为D, 过P作BC,CA,AB的平行线，分别交CA，AB于H，G，交AB，BC于K，I，交BC，CA于F，E。
求证 EF^2+KI^2+GH^2≥4PA*PD

证明 作△AGH的外接圆O1，分别截AC，ADABG，Q，H。
易证△BCD∽△APE，
故 CD/PE=BC/PA， BD/AE=BC/PA，
即 CD=PE*BC/PA=AK*BC/PA， (1)
BD=AE*BC/PA。 (2)
在四边形ABDC中，由Ptolemy定理得:
AD*BC=BD*AC+CD*AB (3)
将(1),(2)代入(3)得:
AP*AD=AE*AC+AK*AB (4)
同理，由Ptolemy定理得:
AP*AQ=AE*AH+AK*AG (5)
由圆相交弦定理得:
AP*PQ=PG*PH (6)
故AP*AD=AP*(AP+PQ)=AP^2+AP*PQ=AP&2+PG*PH
因此得:
AP^2=AE*AC+AK*AB-PG*PH (7)
(1)-(7)得:
AP(AD-AP)=AE*(AC-AH)+AK*(AB-AG)+PG*PH
因为AD-AP=PD，AE=PK，AC-AH=CH=PI，AK=PE，AB-AG=BG=PF，
故得：
PA*PD=PK*PI+PE*PF+PG*PH （8）
根据均值不等式得:
4PK*PI≤(PK+PI)^2=KI^2
4PE*PF≤(PE+PF)^2=EF^2
4PG*PH≤(PG+PH)^2=GH^2
因此EF^2+KI^2+GH^2≥4PA*PD.
当且仅当P为△ABC的重心时等号成立。