问题: 初中-几何问题
在△ABC中，P为BC边上任一点,PM⊥AB,PN⊥AC，M,N为垂足. 问P点在何处时,PM*PN为最大, 并求其最大值.
解答:
解 设△ABC的面积为S,作AH⊥BC交BC于H.
则有 △BPM∽△BAH,
即PM=PB*AH/AB. (1).
同样 △CPN∽△CAH,
即PN=PC*AH/AC. (2).
故PM*PN=PB*PC*AH^2/(AB*AC)≤[AH^2/(AB*AC)]*[(PB+PC)/2]^2
=(BC^2*AH^2)/(4AB*AC)=S^2/(AB*AC) 。
所以当P为BC中点时有最大值, 最大值为S^2/(AB*AC) 。
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