问题: 初中几何问题
己知在直角三角形ABC中，E，F是斜边BC上的三等分点，求证:
AE^2+AF^2=5BC^2/9
解答:
证明 在ΔABE及ΔACF中,运用余弦定理得:
AE^2=AB^2+BE^2-2AB*AE*cosB， (1-1)
AF^2=AC^2+CF^2-2AC*CF*cosC， (1-2)
由题设条件: AE=CF=BC/3，代入(1-1),(1-2) ，
AE^2=AB^2+BC^2/9-2AB*BC*cosB/3， (2-1)
AF^2=AC^2+BC^2/9-2AC*BC*cosC/3， (2-2)
于是(2-1)+(2-2)得:
AE^2+AF^2=AB^2+AC^2+2BC^2/9-(2/3)*BC*(AB*cosB+AC*cosC)
=BC^2+2BC/9-(2/3)*BC*(AB^2/BC+AC^2/BC)
=BC^2+2BC/9-(2/3)*BC^2=5BC^2/9。
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