问题: 初中三角形面积
设P为ΔABC的BC边上一点,PM⊥AB于M,PN⊥AC于N.
求证:S(PMN)≤(sinA)^2*S(ABC)/4.
解答:
证明 令BC=a,PB=x, hb,hc分别表示CA,AB边上的高.则PC=a-x.
2S(PMN)=[PM*PN*sin(π-A)]
=x*(a-x)*sinA*sinB*sinC.
又x+a-x=a为定值,
故S(PMN) 的最大值是当x=a-x,
即x=a/2,P点在BC中点.
此时PM=hc/2,PN=hb/2.
S(PMN)≤[hb*hc*sinA]/8=hb*b*(sinA)^2/8=S(ABC)*(sinA)^2/4.
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