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问题: 高一数学

在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD, ∠A1AB=∠A1AD=60°。 (1)求证:顶点A1在底面ABCD上的射影O 在∠BAD 的平分线上;(2)求这个平行六面体的体积

解答:

在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD, ∠A1AB=∠A1AD=60°。 (1)求证:顶点A1在底面ABCD上的射影O 在∠BAD 的平分线上;(2)求这个平行六面体的体积

(1) 设A1在ABCD和AB、AD上的射影分别为M,P,Q
由三垂线定理--->MP⊥AB,MQ⊥AD
又:A1P=A1Q=AA1sin60=3√3/2--->MP²=A1P²-A1M²=A1Q²-A1M²=MQ²
--->MP=MQ--->M在∠BAD的平分线上

(2) ∠MAP=45°--->MP=AP=AA1cos60=3/2
--->A1M²=A1P²-MP²=9/2--->六面体的高=3√2/2
--->体积V=底面积×高=4×5×3√2/2=30√2