已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°

求面APB与面CPB所成二面角的正切

已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°
求面APB与面CPB所成二面角的正切

如图
取AD中点E，连接PE、BE；取PB中点G，PC中点F，连接AG、AF、GF
因为△PAB为正三角形，且E为AD中点
所以，PE⊥AD
已知PB⊥AD
则，AD⊥面PBE，且∠PEB为面PAD与底面ABCD所成的二面角=120°
所以，AD⊥BE
而E为AD中点
则，BE为AD的垂直平分线
所以，BA=BD
而已知底面ABCD为菱形，即：AB=AD
所以，AB=AD=BD
所以，△ABD也是正三角形
即，底面ABCD为内角分别是60°、120°的菱形
已知△PAD为边长是2的真正三角形
所以，PA=AD=AB=2
即，△PAB为等腰三角形
而，G为PB中点
所以，AG⊥PB………………………………………………（1）
因为PB⊥AD，AD//BC
所以，PB⊥BC
因为G、F分别为PB、PC的中点
所以，GF//BC
所以，GF⊥PB………………………………………………（2）
由(1)(2)得到，∠AGF即为面APB与面CPB所成的二面角的平面角
由前面的分析过程，很容易得到：
AE=DE=AD/2=2/2=1
PE=BE=2*(√3/2)=√3
在等腰△PBE中，∠PEB=120°，由余弦定理得到：PB=3
所以：PG=PB/2=3/2
所以，在Rt△PAG中，由勾股定理得到：AG=√7/2…………（3）
在等腰△ABC中，∠ABC=120°，由余弦定理得到：AC=2√3
在Rt△PBC中，PB=3，BC=2，由勾股定理得到：PC=√13
所以：CF=PC/2=√13/2
又，GF=BC/2=2/2=1……………………………………………（4）
而，在△PCA中，PC=√13，AC=2√3，PA=2
所以，由余弦定理得到：cos∠PCA=21/4√39
所以，在△FCA中，CF=√13/2，AC=2√3，由余弦定理得到：
AF=√19/2………………………………………………………（5）
由(3)(4)(4)得到，在△AGF中，AG=√7/2、GF=1、AF=√19/2
所以，由余弦定理得到：cos∠AGF=-2/√7
所以：tan∠AGF=-√3/2
即，面APB与面CPB所成二面角的正切值为-√3/2