1.设a为非零向量，A=aaT，求A的特征值及几何重数
2.设α=(a1,a2,…,an)T,β=（b1,b2,…,bn)T,αTβ不等于零，求证：αβT可对角化

非常感谢啊！！

只需做2.就可以了.
记内积:α^Tβ=<α,β>=β^Tα
记:(β)┴={x,<x,β>=0}.

2.
(1)
由于β为非零向量,则Dim(β)┴=n-1
任意x∈(β)┴,
(αβ^T)x=α(β^Tx)=α(<β,x>)=0
==>0为αβ^T的特征值,其特征空间V(0)包含Dim(β)┴,
所以DimV(0)≥Dim(β)┴=n-1.

(2)
(αβ^T)α=α(β^Tα)=α(<β,α>)=<β,α>α,
α为αβ^T的特征向量,其特征值=<β,α>≠0,
其特征空间V(<β,α>),则DimV(<β,α>)≥1,
而n≥DimV(0)+V(<β,α>)=n-1+1=n
==>DimV(0)=n-1,V(<β,α>)=1.

所以αβT只有两个特征值0,(<β,α>),分别的几何重数为n-1,1.

由于αβT的特征值的几何重数的和为n,所以αβT可对角化.

1.
将β换成α.