问题: 分布积分法13、17
（13）∫lnx /√1+x dx
(15) ∫xarcsinx /√1-x^2 dx
(17) ∫xsin√x dx
解答:
(13) ∫lnx /√(1+x) dx= 2∫lnx d√(1+x)
= 2[√(1+x)lnx -∫[√(1+x)]/xdx,令t= √(1+x)
=2[√(1+x)lnx-2∫t^2/(t^2-1)dt
=2[√(1+x)lnx-∫[2+1/(t-1)-1/(t+1)]dt
=2√(1+x)lnx-4t-2ln|(t-1)/(t+1)|+C
=2√(1+x)lnx-4√(1+x)-2ln|(√(1+x)-1)/(√(1+x)+1)|+C.
(15) ∫xarcsinx /√(1-x^2) dx
=-(1/2)∫arcsinx /√(1-x^2) d(1-x^2)
=-∫arcsinxd[√(1-x^2)]
=-[√(1-x^2)arcsinx- ∫dx]
=x-√(1-x^2)arcsinx+C.
(17) ∫xsin√x dx (令t= √x)
=2∫t^3sint dt=-2∫t^3d(cost)
= -2*t^3cost + 6∫t^2costdt
= -2*t^3cost + 6∫t^2d(sint)
= -2*t^3cost + 6[t^2*sint-2∫tsintdt]
= -2*t^3cost + 6*t^2*sint+12∫td(cost)
= -2*t^3cost + 6*t^2*sint+12[t*cost-∫costdt]
= -2*t^3cost + 6*t^2*sint+12t*cost-12sint+C
= -2(x)^(3/2)*cos√x+6*x*sin√x+12*√x*cos√x-12sin√x+C.
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