问题: 求与X轴相切,圆心在直线3X-Y=0上且被直线X-Y=0截下的弦长为2√7的圆方程
解：由于圆心过直线3x-y=0,而且与x轴相切，
所以可以设圆方程为：
(x-a)²+(y-3a)²=(3a)²
化简方程式：(x-a)²+y²-6ay=0
又因为圆被直线x-y=0相交,
所以将y=x代入圆方程得,
(x-a)²+x²-6ax=0
所以2x²-8ax+a²=0
*那么,(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=(4a)²-2a²=14a²
*|x1-x2|=±√14·a
*那么弦长=±√14a×√2=±2√7a=2√7
所以a=±1
那么圆方程式为：
(x-1)²+(y-3)²=9 或者(x+1)²+(y+3)²=9.
帮我解释一下那3个带*的是怎么得出来的好吗？
解答:
2x^2-8ax+a^2=0中 x1+x2=8a/2=4a,x1x2=a^2/2
由乘法公式 (x1-x2)^2
=x1^2-2x1x2+x2^2
=(x1^2+2x1x2+x2^2)-4x1x2
=(x1+x2)^2-4x1x2
=(4a)^2-4*a^2/2
=14a^2
--->|x1-x2|=+'-√[(x1+x2)^2-4x1x2]=+'-√(14a^2)=+'-a√14
弦长=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√{(x1-x2)^2*[1+(y1-y2)^2/(x1-x2)^2]
=|x1-x2|√(1+k^2) 直线y=x中，斜率k=1
故+'-a√14*√(1+1^2)=2√7
--->a==+'-1.
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