问题: 高二不等式的证明
已知a>0,b>0,c>0。a+b+c=1,求证:
(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)>=8
a^2+b^2+c^2>=3
请求详解。
解答:
(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)
=(b+c)(a+b)(a+c)/abc
(b+c)(a+b)(a+c)>=2*根下ab*2*根下bc*2*根下ac=8abc
所以
(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)>=8
2*（a^2+b^2+c^2）>=2ab+2bc+2ac=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=a(1-a)+b(1-b)+c(1-c)
=a+b+c-(a^2+b^2+c^2)
即2*（a^2+b^2+c^2）>=a+b+c-(a^2+b^2+c^2)
3*（a^2+b^2+c^2）>=1
所以
a^2+b^2+c^2>=1/3
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