怎么表示曲面x^2/2+y^2+z^2/4=1上一点p(x,y,z)到平面2x+2y+z+5=0的距离

点p(x,y,z)到平面2x+2y+z+5=0的距离是d=|2x+2y+z+5|/3。

①可以用带约束条件的形式表示：
d=|2x+2y+z+5|/3，其中(x,y,z)满足x^2/2+y^2+z^2/4=1。

②可以用曲面方程隐函数显化的方法来表示：
d=|2x±√(1-x^2/2-z^2/4)+z+5|/3, x^2/2+z^2/4≤1.

③可以用曲面的参数方程形式来表示：
d=|2√2sinφcosθ+2sinφsinθ+2cosφ+5|/3，0≤θ＜2π，0≤φ≤π。

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如果是求曲面到平面的距离，那就是求②、③的最小值，或①的条件极值。

由于曲面是光滑的，实际上可以只求出曲面上某点处有平行于已知平面的法向量。

即满足【向量】{x,2y,z/2}//{2,2,1}，可知x=2t,y=t,z=2t。

代入曲面方程，得到t1=1,t2=-1.

即点(x1,y1,z1)=(1,1/2,1)和(x2,y2,z2)=(-1,-1/2,-1).

由前者得到最大距离为3，后者得到最小距离1/3.