【原答案错，保留以比较，重新回答如下】
设矩形的一个顶点C在弧AB上，一条边在OB上。作CE//OB，交OA于E。
作CD⊥OB，垂足为D；作EF垂直OB，垂足为F。
记∠COB=x，则EF=CD=Rsinx，OD=Rcosx，OE=EFcot60°=(Rsinx)/√3。
S=CD*FD=(Rsinx)*[Rcosx-(Rsinx)/√3]。
=(2/√3)*R^2*sinx*(sin60°cosx-cos60°sinx)
=(2/√3)*R^2*sinx*[sin(60°-x)]
=(1/√3)*R^2*[cos(60°-2x)-cos60°]
当x=30°时，Smax=(R^2)/(2√3)。【要比下面的更大一些】
【【【【【【以下答案为错】】】】】
如图，设∠COG=x，则CG=Rsinx，OG=Rcosx，CD=2Rsinx，
EF=CD=2Rsinx就是正三角形OEF的边长，所以其高为OH=(√3)Rsinx.
那么GH=OG-OH=Rcosx-(√3)Rsinx=2Rsin(π/6-x).
四边形CEFD的面积S=CD*GH=(2Rsinx)*[2Rsin(π/6-x)]
=2R^2*[cos(π/6-2x)-cos(π/6)].
当x=π/12时，cos(π/6-2x)有最大值1，即四边形CEFD的面积有最大值
Smax=(2-√3)R^2.
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