设这个圆为⊙N,PQ中点为M,易知A.M.N共线
设△ABC外接圆为⊙0,设直线AM交⊙O于D,
设⊙O,⊙N切于点E,易知O.N.E共线,设直线OE交⊙于F,则EF为直径
连BD,BM,NQ,易知NQ⊥AC
易知AD⊥PQ于M,AD平分∠BAC,设∠BAD=∠CAD=α
∵NQ⊥AC
∴AN=NQ/sin∠CAD=r/sinα
∵AN*DN=EN*FN
∴DN=EN*FN/AN=r(2R-r)/(r/sinα)=(2R-r)sinα
∵NQ⊥AC,AD⊥PQ
∴∠NQM=∠CAD=α
∴MN=NQsin∠NQM=r*sinα
∴DM=DN+MN=2Rsinα
由正弦定理:BD=2Rsin∠BAD=2Rsinα
∴DM=BD
∴∠DBM=∠DMB
∵∠DBM=∠DBC+∠MBC=∠CAD+∠MBC=α+∠MBC
∠DMB=∠BAD+∠MBA=α+∠MBA
∴∠MBC=∠MBA
即BM平分∠ABC
又AM平分∠BAC
∴PQ中点M是△ABC的内心
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