设一半圆直径为AB,圆心为O,一直线与半圆交于C,D,且与AB延长线交于M.又△AOC,△BOD的外接圆的第二个交点为N.
求证 ON⊥MN.

证明 设AB=2r,以O为反演中心,作反演变换I(O,r^2)，
则半圆上的每一点都不变。
⊙(AOC)与⊙(BOD)的反形分别为直线AC，BD。
设M，N的反点为M’，N’．
则M’在直径AB上，N’为直线AC，BD的交点。
即直线MN的反形为△OM’N’的外接圆；
直线CD的反形为△CDO的外接圆．
又OM⊥MN ＜＝＝＞ON’是△OM’N’的直径
＜＝＝＞M’N’⊥OM’．
∵AD⊥BN’，BC⊥AN’,O是AB的中点，
∴过三点O、C、D的圆是△ABN’的九点圆。
而M’在九点圆上，且又在异于O点AB上，
故M’N’⊥AB.
因此ON⊥MN.

这个几何题还可用位似变换证明。