问题: 高考数学问题:边长为2的等边三角形ADE垂直矩形ABCD所在平面
1, 边长为2的等边三角形ADE垂直矩形ABCD所在平面,F是AB中点,EC和平面ABCD成30度角.
(1)求四棱锥E-AFCD的体积 答案:根号6
(2)求二面角E-FC-D的大小 答案:45度
(3)求D到平面EFC的距离 答案:2/3乘根号6
解答:
(1)过E做EH⊥AD，交AD于H，由题给条件可得：DH⊥平面ABCD
DH=1，EH=√3，CH=3，CD=2√2，AF=√2
四棱锥E-AFCD的体积=(1/3)AFCD的面积*EH=（1/3）*(√2+2√2)*2/2*√3=√6
(2)由题可得FH=√3,CH=3,CF=√6,所以HF⊥CF，所以二面角E-FC-D=∠HFE
FH=EH，FH⊥EH，所以∠HFE=45°，即二面角E-FC-D=45°
(3)设所求距离为h,由前面解答易得：EC=2√3，CF=√6，EF=√6，所以CF⊥EF
三棱锥E-HCF的体积=(1/3)△HCF的面积*EH=(1/3)△ECF*h
h=√6/2
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