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问题: 内接正三角形面积

设△ABC的三边长为a,b,c.求内接于△ABC的正三角形最小面积。
注:D,E,F分别在边Bc,CA,AB上,EF=FD=DE.

解答:

设△ABC的三边长为a,b,c.求内接于△ABC的正三角形最小面积。

等力点的垂足三角形面积最小。
设内接于△ABC的正三角形最小面积为S,△ABC的面积为△.
则S=(2√3)△^2/[a^2+b^2+c^2+4√3△]

设P为△ABC的等力点,记T=a^2+b^2+c^2+4√3△.
则可求出:
PA=√2bc/√T,PB=√2ca/√T,PC=√2ab/√T.
∴EF=FD=DE=2√2△/√T.
S==(2√3)△^2/T.