在三角形ABC中，求证
1/[(cotA)^2+8]+1/[(cotB)^2+8]+1/[(cotC)^2+8]≤1/3

在三角形ABC中，求证
1/[3(cotA)^2+8]+1/[3(cotB)^2+8]+1/[3(cotC)^2+8]≤1/3

证明 设(cotA)^2=yz/x，(cotB)^2=zx/y，(cotC)^2=xy/z
其中x,y,z∈R+.
∵ cotB*cotC+cotC*cotA+cotA*cotB=1.
∴x+y+z=1.

故所证不等式等价于
∑x(x+y+z)/(8x^2+8xy+8xz+3yz)≤1/3
＜＝＞
∑[1/9-x(x+y+z)/(8x^2+8xy+8xz+3yz)]≥0
＜＝＞
∑[(x+3z)(y-x)+(x+3y)(z-x)]/(8x^2+8xy+8xz+3yz)≥0
＜＝＞
∑(y-z){(z+3x)/(8z^2+8zx+8yz+3xy)-(y+3x)/(8y^2+8xy+8yz+3zx)}≥0
＜＝＞
∑x(5x+7y+7z)(y-z)^2/[(8z^2+8zx+8yz+3xy)(8y^2+8xy+8yz+3zx)]≥0
∴成立。