数列an,a(n+1)+a(n)=3n-54
若a(1)+20=0,求通项
证明：当a1+27>0时，存在自然数n使n=m,Sn与a(n+1)+a(n)的绝对值均最小，并求出m

1.
由a(n+1)+a(n)=3n-54 则有:
a(n)+a(n-1)=3(n-1)-54 -------------(1)
a(n-1)+a(n-2)=3(n-2)-54 ------------(2)
(1)-(2)得:
a(n)-a(n-2)=3
因为a(1)+20=0
所以a(1)=-20
又a(n+1)+a(n)=3n-54
所以当n=1时,有a(2)=-31
所以 通项为:
当n为正奇数时,有a(n)=a(1)+3(n-1)/2=-43/2+3n/2
当n为正偶数时,有a(n)=a(2)+3(n-2)/2=-34+3n/2
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2.[Sn与a(n+1)+a(n)的绝对值均最小意思是Sn最小且a(n+1)+a(n)的绝对值也最小吧?]
由题可知
a(2)+a(1)=-51 即a(2)=-51-a(1)
如果 a(1)+27>0则a(2)<-24
因为当n为正奇数时,有a(n)=a(1)+3(n-1)/2=a(1)+3n/2-3/2
当n为正偶数时,有a(n)=a(2)+3(n-2)/2=-a(1)+3n/2-54
假设存在自然数n使n=m,Sn与a(n+1)+a(n)的绝对值均最小
因为a(n+1)+a(n)=3n-54.当n=18时Sn与a(n+1)+a(n)的绝对值最小为0,所以,如果存在这样的数,那么这个数m应该为18
而当n=18时,Sn=3n^2/8-27n/2=3/8(n^2-36n)=3/8(n-18)^2-3/8*324=-243/2显然当此时Sn为最小.
所以存在自然数n使n=m,Sn与a(n+1)+a(n)的绝对值均最小,此时
m=18