已知a＞b＞c＞d
求证：1/（a-b) +1/(b-c) +1/(c-d) ≥9/（a-d)

已知a＞b＞c＞d
求证：1/（a-b) +1/(b-c) +1/(c-d) ≥9/（a-d)


简证 ∵a＞b＞c＞d,∴令x=a-b, y=b-c, z=c-d.
故 a-d=x+y+z. 其中 x,y,z∈R+.

所证不等式等价于
1/x+1/y+1/z≥9/(x+y+z) (1)

(1)就是柯西不等式.显然成立.

现在高中不学柯西不等式,下面给出(1)式其它证法.
(1)等价于
(x+y+z)*(yz+zx+xy)≥9xyz (2)

(2)＜＝＝＞
x(y^2+z^2)+y(z^2+x^2)+z(x^2+y^2)-6xyz≥0
＜＝＞
x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2≥0
上式显然成立.

当x=y=z,即a,b,c,d成等差数列时,等号成立.

也可用均值不等式证.
x+y+z≥3(xyz)^(1/3);
yz+zx+xy≥3(xyz)^(2/3).
两式相乘即得。