(1)
因为AB//CD//y轴，所以点A、B的横坐标相等
已知B(1,0)
所以，点A的横坐标为1
又，点A在双曲线y=2/x上，则：y=2/x=2/1=2
所以，点A(1,2)
所以，AB=2
已知，B(1,0)、C(3,0)
所以，BC=3-1=2
则，AB=BC
又，AD//BC、AB//CD
则，AB⊥BC
所以，四边形ABCD为正方形

(2)
如图
连接MC，过点M作BC的垂线，垂足为G
因为PE⊥BC、MG⊥BC、CD⊥BC
所以，PE//MG//CD
已知点M为PD中点
所以，点G为EC中点
又，MG⊥EC
所以，MG为EC的垂直平分线
则，MC=ME……………………………………………………（1）
因为四边形ABCD为正方形，BD为对角线
所以，∠ADM=∠CDM=45°
所以，在△ADM和△CDM中：
AD=CD（正方形边相等）
∠ADM=∠CDM（已证）
DM公共
所以，△ADM≌△CDM（SAS）
所以，AM=CM……………………………………………………（2）
由(1)(2)得到：
AM=EM

(3)
设BE=x
因为ABCD为正方形，BD为对角线
所以，∠PBE=45°
所以，△BEP为等腰直角三角形
则，PE=BE=x，PB=√2x
同理，因为BC=CD=2
所以，对角线BD=2√2
那么，PD=BD-PB=2√2-√2x=√2(2-x)
已知点M为PD中点，所以：PM=DM=PD/2=(√2/2)(2-x)
又，PE⊥BC、AB⊥BC
所以，PE//AB
则，PE/AB=PN/BN
即：x/2=PN/BN
而，PN+BN=PB=√2x
所以：BN=2√2x/(x+2)、PN=√2x^2/(x+2)
则，MN=PM+PN=(√2/2)(2-x)+√2x^2/(x+2)
=√2(4+x^2)/(x+2)
BN+DM=2√2x/(x+2)+(√2/2)(2-x)
=(4√2+4√2x-√2x^2)/(x+2)
显然，(BN+DM)/MN不是定值

由前面知：
DN=PD+PN=√2(2-x)+√2x^2/(x+2)=4√2/(x+2)
则，DN^2=32/(x+2)^2
DM^2=[√2(2-x)/2]^2=(2-x)^2/2
所以：DN^2+DM^2=(x^4-16x^2+80)/2(x+2)^2
MN^2=[√2(4+x^2)/(x+2)]^2
题目是不是有问题啊。。。