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问题: 数学

如图,双曲线x^2/4-y^2/b^2=1(b∈ N)的两个焦点F1, F2,P为双曲线上一点,|PF1|,|F1F2|,|PO|成等差数列,求此双曲线方程。

该题答案为:x^2/4-y^2=1

解答:

设F1、F2坐标为(-c,0),(c,0),|F1F2|=2c
焦点在x轴上,a=2,c^2=4+b^2,
设|PF2|=x,根据双曲线“动点与两个定点距离之差的绝对值为定值2a”的基本性质得:
||PF1 |-|PF2 ||=2a=4
又因为|PF2|<4,所以:|PF1|=x+2a=x+4,且:
c-2=c-a≤x<4
由|PF1 |•|PF2 |= |F1F2|得:x(x+4)=2c
F(x)=x^2+4x-2c=0
F(x)=0在[c-2,4)有解
F(0)=-2c<0,所以
F(c-2)≤0,代入得:c^2-2c-4<0,解得:1-√5≤c≤1+√5
F(4)>0,代入得:16+16-2c>0,解得:c<16
所以:2<c≤1+√5
所以:c^2=4+b^2≤(1+√5)^2=6+2√5=10.47……
b^2≤6.47……
因为b∈N,所以b只能取1或2
b=1时,双曲线方程为:x^2/4-y^2/1=1