对所有正实数a,b,c。求证:
a/√(a^2+8bc)+b/√(b^2+8ca)+c/√(c^2+8ab)≥1

证明 用反证法,作置换证
记 x=a/√(a^2+8bc); y=b/√(b^2+8ca); z=c/√(c^2+8ab).
显然1>x>0;1>y>0;1>z>0. 则
x^2=a^2/(a^2+8bc); y^2=b^2/(b^2+8ca); z^2=c^2/(c^2+8ab).
显然有 (1/x^2-1)*(1/y^2-1)*(1/z^2-1)=512

假设x+y+z<1，则
(1/x^2-1)(1/y^2-1)(1/z^2-1)=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)/(xyz)^2
>[(x+y+z)^2-x^2]*[(x+y+z)^2-y^2]*[(x+y+z)^2-z^2]/(xyz)^2
=(y+z)(2x+y+z)(z+x)(2y+z+x)(x+y)(2z+x+y)/(xyz)^2≥512

那么与假设矛盾，所以假设x+y+z<1不成立。
因此x+y+z≥1成立。命题得证。