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问题: 请教一道数学题

已知圆:x^2+y^2+ax+2y+a^2=0,过一定点A(1,2)的圆的切线有两条,则a的取值范围是_____
麻烦大家把过程写详细一些谢谢!!

解答:

已知圆:x^2+y^2+ax+2y+a^2=0,过一定点A(1,2)的圆的切线有两条,则a的取值范围是_____
麻烦大家把过程写详细一些谢谢!!

首先要明白:
①当定点在圆外时,过定点可以作圆的两条切线;
②当定点在圆上时,过定点则只能作圆的一条切线;
③当定点在圆内,那么过定点就不能作圆的切线。

圆:x^2+y^2+ax+2y+a^2=0
即:[x+(a/2)]^2+(y+1)^2=1+(a^2/4)-a^2=(4-3a^2)/4
则,r^2=(4-3a^2)/4>0
所以:4-3a^2>0
即:-2√3/3<a<2√3/3……………………………………(1)
则,该圆是以O(-a/2,-1)为圆心,√(4-3a^2)/2为半径的圆
又已知,过定点A(1,2)可以作圆的两条切线,那么定点A在圆外。即,AO>r>0,所以:AO^2>r^2
即:[(-a/2)-1]^2+(-1-2)^2>(4-3a^2)/4
===> (a^2/4)+1+a+9>1-(3a^2/4)
===> a^2+a+9>0
===> [a+(1/2)]^2+(35/4)≥35/4>0
所以,a∈R……………………………………………………(2)
联立(1)(2)得到:
-2√3/3<a<2√3/3