问题: 初中几何
在ΔABC中，己知∠B-∠C=90°，BC=a,CA=b,AB=c。
求证:2/a^2=1/(b+c)^2+1/(b-c)^2.
解答:
证明 设ΔABC的面积为S，根据海仑公式和正弦和余弦定理得:
16S^2=2b^2*c^2+2c^2*a^2+2a^2*b^2-a^4-b^4-c^4.
sinB*sinC=16S^2/(4a^2*bc).
cosB*cosC=(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)/(4a^2*bc).
4a^2*bc*cos(B-C)=cosB*cosC+sinB*sinC
=(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)+2b^2*c^2+2c^2*a^2+2a^2*b^2-a^4-b^4-c^4
=-2b^4-2c^4+4b^2*c^2+2c^2*a^2+2a^2*b^2
=2{a^2*(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2}.
因为∠B-∠C=90°,所以cos(∠B-∠C)=0.
故a^2*(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2=0
<==> a^2*(b^2+c^2)=(b^2-c^2)^2
<==> 1/a^2=(b^2+c^2)/(b^2-c^2)^2
<==> 2/a^2=1/(b+c)^2+1/(b-c)^2.
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