问题: 几何问题
设四边形ABCD外切于圆O, 对角线AC,BD的中点分别为M,N。求证:M,N,O三点共线。
解答:
证明 因为四边形ABCD有内切圆，所以
S(OAD)+S(OBC)=S(OAB)+S(OCD)=S(ABCD)/2
因为M,N分别是AC,BD的中点，所以
S(MND)=[S(BMDC)-S(BDC)]/2=S(ABCD)/4-S(BDC)/2; (1)
S(OND)=[S(OBC)+S(OCD)-S(BDC)]/2; (2)
S(OMC)=[S(OCD)+S(OAD)-S(ACD)]/2; (3)
S(OMD)=S(OAB)-S(AMD)-S(AMO)=S(OAD)-S(ACD)/2-S(OMC) (4)
又
S(MON)=S(MND)-S(OND)-S(OMD) (5)
将(1),(2),(3),(4)式代入(5)式得:
S(MON)=[S(ABCD)]/4-[S(OAD)+S(OBC)]/2=0.
故M,N,O三点共线。
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