分布函数的充要条件和概率密度的充要条件分别是什么？

§4 条件分布，随机变量的独立性



一、条件分布

在第一章曾经定义过事件的条件概率，同样也可以考虑一个随机变量的条件分布，其条件与另一随机变量取值有关.

仍从离散型开始. 设(ξ,η)的联合分布列为 P(ξ= ,η= ) = , i, j =1,2,….若已知ξ= (p ( ) >0 )，则事件η= 的条件概率为

P(η= |ξ= ) = P(ξ= ,η= )/ P(ξ= ) = / . j=1,2,…. (1)

它表示在ξ= 的条件下η的条件分布.

在连续型的情况，因为对任何x, P(ξ= x) = 0, 故只能借助于密度函数. ξ= x时η的条件分布函数可写成

P(η≤y|ξ= x) = P(η≤y| x <ξ≤x+Δx)

=
= ,

分子分母各除以Δx，并各自取极限，则

上式= = = .

上式说明条件分布也是连续型的，且在ξ= x的条件下, >0 时,η的条件密度为

= . (2)

同理，当 (y)>0时，在η= y条件下ξ的条件密度为

(x| y) = . (3)

例1 设(ξ,η)～N (a, b, , ,r)，求条件密度 .

解 (ξ,η)的联合密度见上节(23)式，由本节(2)式立即可得

= exp (4)





它表明：已知ξ= x条件下，二维正态分布的条件分布是正态分布N (b + (x-a), (1- ) ),其中第一参数m = b + (x-a) 是x的线性函数，第二参数与x无关(见图). 此结论在一些统计问题中很重要.



二、随机变量的独立性

现在我们把第一章随机事件独立性的概念移植到随机变量中来. 如果(ξ,η)是离散型随机向量，它的联合分布列由§3的 (2) 式表示，我们自然把ξ与η的相互独立定义为对一切i, j事件{ξ= }与{η= }都相互独立.



参考文献：http://course.jingpinke.com/lixue/gailvlun/course/chapter2-4.htm