试证 在平面上不存在这样的四点A,B,C,D,使得△ABC,△BCD,△CDA,△DAB都是锐角三角形.

证明 若这样的四点A,B,C,D存在.下分两种情况说明.
(1),当A,B,C,D四点中任何一点都不在其他三点所连成的三角形内或其边上，则它们可连成一凸四边形.
在凸四边形中,因为△ABC，△BCD，△CDA，△DAB都是锐角三角形。 所以∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB都是锐角,
于是 ∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB<360°.
与四边形四内角之和为360°相矛盾.
(2),当A,B,C,D四点中有一点在其他三点所连成的三角形内，则它们可连成一凹四边形.不妨设点D在△ABC内，因为△BCD，△CDA，△DAB都是锐角三角形。 所以∠BDC，∠CDA，∠ADB都是锐角,
于是 ∠BDC+∠CDA+∠ADB<360°.
与周角为360°相矛盾.
因此这样四点不存在。证毕。