问题: 初三几何证明题
几何证明题 设P是ΔABC内部一点, 且∠PBA=10°, ∠BAP=20°，∠PCB=30°, ∠CBP=40°.
求证ΔABC是等腰三角形。
解答:
证明 设∠BCP=x,则∠CBP=80°-x.
由塞瓦定理的等价式得:
sin20°*sin40°*sin(80°-x)=sin10°*sin30°*sinx
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4cos10°*sin40°*(sin80°*cosx-sinx*cos80°=sinx
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tanx=(4cos10°*sin40°*sin80°)/(4cos10°*sin40°*cos80°+1)
注意下面三角恒等变换:
4cos10°*sin40°*cos80°+1
=2sin40°cos70°+1=2cos50°cos70°+1
=1+cos120°+cos20°=1/2+cos20°,
4cos10°*sin40°*sin80°=2cos10°*(cos40°-cos120°)
=cos10°+2cos10°*cos40°=cos10°+cos30°+cos50°
=cos30°+2cos20°*cos30°=cos30°(1+2cos20°)
=√3*(1/2+cos20°)
故得：tanx=√3 即 x=60°.
所以∠ACB=80°-60°+30°=50=∠BAC.
因此三角形ABC是等腰三角形.
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