问题: 几何五边形问题
己知P为正五边形ABCDE的外接圆AE圆弧上一点。
求证:PA+PC+PE=PB+PD
解答:
证明 设正五边形的边长和对角线分别为a,k。
据托勒密定理，
在圆内接四边形PABE中，
PA*k+PE*a=PB*a (1)
在圆内接四边形PADE中，
PA*a+PE*k=PD*a (2)
(1)+(2)得:
PA*k+PE*a+ PA*a+PE*k=(PB+PD)a (3)
在圆内接四边形PACE中，
PA*k+PE*k=PC*a (4)
将(4)式代入(3)式得:
a*(PA+PC+PE)=a*(PB+PD)
因为a≠0, 所以PA+PC+PE=PB+PD。
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