问题: 竞赛题-不等式问题
竞赛试题:设x,y,z为正数.求证
[6x^2+4xy+4xz+2yz]^(1/2)+[6y^2+4yz+4xy+2zx]^(1/2)+[6z^2+4zx+4yz+2xy]^(1/2)=<4(x+y+z)
解答:
竞赛试题:设x,y,z为正数.求证
[6x^2+4xy+4xz+2yz]^(1/2)+[6y^2+4yz+4xy+2zx]^(1/2)+[6z^2+4zx+4yz+2xy]^(1/2)=<4(x+y+z)
证明 因为
[2(y^2+z^2)+6yz+3x(y+z)]^2-(6y^2+4yz+4xy+2zx)(6z^2+4zx+4yz+2xy)
=[x^2+4(y+z)^2]*(y-z)^2≥0
∴
2(y^2+z^2)+6yz+3x(y+z)≥√[(6y^2+4yz+4xy+2zx)(6z^2+4zx+4yz+2xy)]
2(z^2+x^2)+6zx+3y(z+x)≥√[(6z^2+4zx+4yz+2xy)(6x^2+4xy+4xz+2yz)]
2(x^2+y^2)+6xy+3z(x+y)≥√[(6x^2+4xy+4xz+2yz)(6y^2+4yz+4xy+2zx)]
上述三式相加得:
4∑x^2+12∑yz≥√[(6y^2+4yz+4xy+2zx)(6z^2+4zx+4yz+2xy)]
＝＝＝＞
10∑x^2+22∑yz≥2√[(6y^2+4yz+4xy+2zx)(6z^2+4zx+4yz+2xy)]
上式各加6∑x^2+10∑yz,整理开方即得所证不等式.
版权及免责声明
1、欢迎转载本网原创文章，转载敬请注明出处：侨谊留学（www.goesnet.org）；
2、本网转载媒体稿件旨在传播更多有益信息，并不代表同意该观点，本网不承担稿件侵权行为的连带责任；
3、在本网博客/论坛发表言论者，文责自负。
