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问题: 单调性

已知f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b,(a,b属于R)
1.若函数f(x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值。
2.若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围

解答:

1.由题意 f(0)=0 可得 b=0.
f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)
f'(0)=-a(a+2)=-3,那么a=-3 【或】 1.

2.据题意f(x)【至少】有一个极值点在区间(-1,1)内,
由于f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)],
a≠-1/2时,f(x)有两个不相同的极值点x1=a和x2=-(a+2)/3,
①a=-1/2时,f(x)严格单调增加
②-1<x1<1,即 -1<a<1;
③-1<x2<1,即-1<-(a+2)/3<1,可得-5<a<1,

综合①、②、③,可得a的取值范围是{-5<a<-1/2}∪{-1/2<a<1}