问题: 初中不等式问题
在非钝角△ABC中，求证:
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2≥2.
解答:
证明 根据三角形三角恒等式:
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosA*cosB*cosC. (1)
(1)式证明
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2
=2-(cos2B+cos2C)/2-(cosA)^2
=2-cos(B+C)*cos(B-C)+cosA*cos(B+C)
=2+cosA*[cos(B-C)+cos(B+C)]
=2+2cosA*cosB*cosC.
在非钝角△ABC中,有
cosA*cosB*cosC≥0 (2)
所以由(1),(2)式得:
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosA*cosB*cosC≥2.
附:所证不等式等价于:
a^2+b^2+c^2≥8R^2
<==> s^2-4Rr-r^2≥4R^2
<==> s^2≥(2R+r)^2
<==> s≥2R+r.
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