设f(x)=|x+1|+|x+2|+……+|x+100|，
(1)当x≤-100时，
f(x)=-[(x+1)+(x+2)+……+(x+100)]
=-100x-5050≥4950>2009，
(2)当x≥-1时，
f(x)=(x+1)+(x+2)+……+(x+100)
=100x＋5050≥4950>2009，
(3)当-100<x<-1时
则f(x)的最小值是
f(-50)
=[(50-1)+(50-2)+……+(50-50)]+[(51-50)+(52-50)+……+(100-50)]=2500．
其实在-51≤x≤-50上恒等于最小值f(x)=2500．
综合(1)(2)(3)可得：对一切x都有f(x)>2009
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回答楼主的问题，首先我们知道|a-b|在几何上表示数轴上两点a、b之间的距离。
所以f(x)=|x+1|+|x+2|+……+|x+100|
就表示坐标为x的电M到坐标为-1,-2,-3,……,-99,-100的点A1,A2,A3,……,A99,A100
之间距离之和|MA1|+|MA2|+|MA3|+……+|MA100|.
(1-00)当x≤-100时，M落在M'位置上，
f(x)=|x+1|+|x+2|+……+|x+100|
=|MA1|+|MA2|+|MA3|+……+|MA100|
>|A100A1|+|A100A2|+|A100A3|+……+|A100A99|+|A100A100|
=99+98+97+……+1+0=4950.
从函数增减性看
f(x)=|x+1|+|x+2|+……+|x+100|
=-(x+1)-(x+2)-(x+3)-……-(x+100)
=-100x-5050,
单调减少，最小值为f(-100)=4950.
(2-00)当x≥-1时，M落在M"位置上，
f(x)=|x+1|+|x+2|+……+|x+100|
=|MA1|+|MA2|+|MA3|+……+|MA100|
>|A1A1|+|A1A2|+|A1A3|+……+|A1A99|+|A1A100|
=0+1+2+3+……+98+99=4950,
从函数增减性看
f(x)=|x+1|+|x+2|+……+|x+100|
=(x+1)+(x+2)+(x+3)+……+(x+100)
=100x+5050,
单调增加，最小值为f(-1)=4950.
(1-01)当-100≤x≤-99时，
f(x)=|x+1|+|x+2|+……+|x+98|+|x+99|+|x+100|
=[|x+1|+|x+2|+……+|x+98|]+[|x+99|+|x+100|]
=[|x+1|+|x+2|+……+|x+98|]+[-(x+99)+(x+100)]
=[-(x+1)-(x+2)-……-(x+98)]+1单调减少，
最大值为f(-100)=4950,
最小值为f(-99)=4851.
(2-01)当-2≤x≤-1时，
f(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|+……+|x+100|
=[|x+1|+|x+2|]+[|x+3|+……+|x+100|]
=[-(x+)+(x+2)]+[|x+3|+……+|x+100|]
=1+[(x+3)+……+(x+100)]单调增加，
最大值为f(-1)=4950,
最小值为f(-2)=4852.
(1-02)当-99<x≤-98时，
f(x)=|x+1|+|x+2|+……+|x+96|+|x+97|+|x+98|+|x+99|+|x+100|
=[|x+1|+|x+2|+……+|x+96|]+[|x+97|+|x+98|+|x+99|+|x+100|]
=[|x+1|+|x+2|+……+|x+96|]+[-(x+97)-(x+98)+(x+99)+(x+100)]
=[|x+1|+|x+2|+……+|x+96|]+4
=[-(x+1)-(x+2)-……-(x+96)]+4单调减少，
最大值为f(-99)=4852,
最小值为f(-98)=4756.
(2-02)当-3≤x≤-2时，
f(x)=[|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|]+[|x+5|+……+|x+100|]
=[-(x+1)-(x+2)+(x+3)+(x+4)]+[|x+5|+……+|x+100|]
=4+[(x+5)+……+(x+100)]单调增加，
最大值为f(-2)=4852,
最小值为f(-3)=4756.
…… ……
(1-49)当-52<x≤-51时，
f(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|+……+|x+98|+|x+99|+|x+100|
=|x+1|+|x+2|+[|x+3|+|x+4|+|x+5|+……+|x+98|+|x+99|+|x+100|]
=-(x+1)-(x+2)+[-(x+3)-(x+4)-……+(x+98)+(x+99)+(x+100)]
=-(x+1)-(x+2)+2401=-2x+2398单调减少，
最大值为f(-52)=2502,
最小值为f(-51)=2500.
(2-49)当-50≤x≤-49时，
f(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|+……+|x+4|+|x+5|+|x+98|+|x+99|+|x+100|
=[|x+1|+|x+2|+|x+3|+……+|x+96|+|x+97|+|x+98|]+|x+99|+|x+100|
=[-(x+1)-(x+2)-(x+3)-……+(x+96)+(x+97)+(x+98)]+(x+99)+(x+100)
=2600+2x，单调增加，
最大值为f(-49)=2502,
最小值为f(-50)=2500.
(1-50)当-51≤x≤-50时，
(2-50)当-51≤x≤-50时，
f(x)==|x+1|+|x+2|+|x+3|+……+|x+50|+|x+51|+……+|x+98|]+|x+99|+|x+100|
=|x+1|+|x+2|+|x+3|+……+|x+50|+|x+51|+……+|x+98|]+|x+99|+|x+100|
=-(x+1)-(x+2)-(x+3)-……-(x+50)+(x+51)+……+(x+98)]+(x+99)+(x+100)
=2500，是一个常数。
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这个问题的实际应用背景模型为：有100个幼儿，家住公路上等距离的100个地方，现在要在这条公路上建造一个幼儿园，怎么样能使大家所走路程之和最短？
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