已知AB是⊙O中的一条长为4的弦，P是⊙O上的动点，cos∠APB=1/3，问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形，若存在，求出这个三角形的面积.

因为AB= 4 ，cos∠P=1/3 ，所以圆的半径是一定的。(可用正弦定理解释)
如图，ΔABP的边AB一定，当AB边上的高最大时，SΔABP最大。
所以P在AB的中垂线上时，也就是ΔABP是等腰三角形时，SΔABP最大。
过A作AD⊥PB于D ，因为cos∠P=1/3 ，所以AP=BP=3*PD
设PD=x ,则PA=3x ,BD=2x ,因为AD^2=AB^2 – BD^2 = PA^2 – PD^2
所以 16-4x^2 = 9x^2 – x^2 ,解得：x^2= 4/3
所以SΔABP = 1/2 *PB*AD=1/2 *3x *2√2 x =3√2 *x^2=3√2 *4/3 = 4√2