问题: 已知复数z满足|z+√3+i|≤1，求|z-√3|^2+|z-2i|^2的取值范围
详见图
解答:
因为|z-√3|^2+|z-2i|^2=[(x-√3)^2+y^2]+[x^2+(y-2)^2]
=2(x-√3/2)^2+2(y^2-1)^2+7/2=2|z-[(√3)/2+i]|^2+7/2.
所以问题就等价于“在|z+√3+i|≤1圆内，求2|z-[(√3)/2+i]|^2的最大值和最小值”，
而点(√3)/2+i在|z+√3+i|≤1圆外，
所以问题就等价于“求点(√3)/2+i到|z+√3+i|=1圆周的最大距离和最小距离”.
点(√3)/2+i与|z+√3+i|=1的圆心-(√3+i)的距离是[√(43)]/2
所以点(√3)/2+i到|z+√3+i|=1圆周的最大距离和最小距离[√(43)]/2+1和[√(43)]/2-1.
|z-[(√3)/2+i]|^2的最大值{[√(43)]/2+1}^2=47/4+√(43),
|z-[(√3)/2+i]|^2的最小值{[√(43)]/2-1}^2=47/4-√(43).
|z-√3|^2+|z-2i|^2的最大值=2[47/4+√(43)]+7/2=54+2√(43),
|z-√3|^2+|z-2i|^2的最小值=2[47/4-√(43)]+7/2=54-2√(43),
▲▲结论▲▲
若复数z满足|z+√3+i|≤1，则|z-√3|^2+|z-2i|^2的取值范围是：
54-2√(43)≤|z-√3|^2+|z-2i|^2≤54+2√(43).
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