已知角BAC在平面a内，P不属于a，角PAB=角PAC
求证：P在平面a上的射影在角BAC的平分线上。
如图
因为点P不属于面α，过点P作面α的射影O
则，PO⊥面α
过点O作BA的垂线，垂足为E；过点O作CA的垂线，垂足为F
设∠PAB=∠PAC=θ
PA=m
因为：PO⊥面α
所以，PO⊥BA
又，OE⊥BA
所以，BA⊥面POE
所以，BA⊥PE
即，△PEA为直角三角形
所以，PE=PA*cos∠PAE=m*cosθ
同理，PF=PA*cos∠PAF=m*cosθ
所以，PE=PF
而，在Rt△POE中，由勾股定理得到：OE^2=PE^2-PO^2
在Rt△POF中，由勾股定理得到：OF^2=PF^2-PO^2
所以，OE=OF
即，点O到∠BAC两边的距离相等
所以，点O在∠BAC的平分线上
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