问题: 数学习题
1.相交的两直线L1:y=k1x,L2:y=k2x与另一平行于x轴的动直线L3相交于M1,M2点,过M1,M2分别作L1,L2的垂线,求这两条直线的交点的轨迹方程.
2.设直线x+2y-2=0与曲线4x^2+9y^2=36交于两点A,B.
(1)求线段AB中点的坐标.
(2)求线段AB的垂直平分线的方程.
解答:
(1)第1题的解
设L3：y=n
则M1为(k1/n,n)，M2为(k2/n,n)
故两条垂线分别是：y-n=-1/k1*(x-k1/n)和y-n=-1/k2(x-k2/n)
合并两方程，解得x=0,y=n+1/n
即为这两条直线的交点(0,n+1/n)的轨迹方程。
(2)第2题的解
合并两方程，解得
4(2-2y)^2+9y^2=36→16y^2-32y+16+9y^2=36→25y^2-32y-20=0
y1=(16+6*21^0.5)/25，y2=(16-6*21^0.5)/25
所以x1=(18-12*21^0.5)/25，x2=(18+12*21^0.5)/25
则线段AB中点的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，即(18/25,16/25)。
由于AB线的斜率＝(y2-y1)/(x2-x1)=-1/2，故它的垂直平分线的斜率＝2
所以线段AB的垂直平分线的方程为：y=2(x-18/25)+16/25
简化后得y=2x-0.8
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