（2006年常德市）把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．



　　（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP·CQ＝　　　　　　；

　　（2）将三角板DEF由图9所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°＜α＜90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由；

　　（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）

（2006年常德市）把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP·CQ＝8；
因为Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=45°
所以，Rt△ABC为等腰直角三角形
又，O为斜边AC中点，DF经过点B
所以， BO⊥AC
所以，∠OBC=90°-∠C=90°-45°=45°
而已知，∠EOB=∠F=45°
所以，OE//BC
则，OE⊥AB
所以，△APD(O)、△CBQ(B)均为等腰直角三角形
所以，△APD∽△CBQ
所以：AP/CD=AD/CQ
则，AP*CQ=CD*AD………………………………………………（1）
由勾股定理得到：AC^2=AB^2+BC^2=16+16=32
所以，AC=√32=4√2
而，点D(O)为AC中点
所以，AD=CD=AC/2=2√2
代入(1)，得到：
AP*CQ=AD*CD=2√2*2√2=8

（2）将三角板DEF由图9所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°＜α＜90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由；
AP*CQ的值不变，仍然等于8
如图
连接BD(0)
设∠BDP=∠1，∠DBP=∠2，∠CQD=∠3
由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，且D(0)为斜边AC中点
所以，BD⊥AC，且BD为∠ABC的平分线
所以，∠ADB=CDB=90°，∠2=45°
因为现有图形是在（1）的基础上逆时针旋转α
所以，α如图所示
那么，∠ADP=α+45°……………………………………………（2）
所以，∠1=90°-∠ADP=90°-(α+45°）=45°-α
而已知△DEF也是等腰直角三角形，即∠PDQ=45°
所以，∠BDQ=45°-∠1=45°-（45°-α）=α
所以，∠3=∠DBQ+∠BDQ=α+45°………………………………（3）
由(2)(3)得到：
∠ADP=∠3
而，∠A=∠C=45°
所以，△ADP∽△CQD
则，AP/CD=AD/CQ
所以，AP*CQ=AD*CD=8

（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）
如图
过点D(0)分别作AB、CB的垂线，垂足分别为M、N
由(1)知，△ABD为等腰直角三角形
DM⊥AB
所以，DM=AB/2=4/2=2
同理，DN=2
那么，△CDQ的面积=(1/2)*CQ*DM=(1/2)*x*2=x……………（4）
又，由(2)的结论AP*CQ=8
所以，AP=8/CQ=8/x
则，△ADP的面积=(1/2)*AP*DM=(1/2)*(8/x)*2=8/x………（5）
而，△ABC的面积=(1/2)*AB*BC=(1/2)*4*4=8
所以，阴影部分的面积
y=8-x-(8/x)（因为点Q在BC上，所以：0＜x≤4）