问题: 圆锥的体积为定值V，则其表面积最小值S为多少？请用V的代数式表示，谢谢！
圆锥的体积为定值V，则其表面积最小值S为多少？请用V的代数式表示，谢谢！
解答:
设底面圆半径为R，则底面面积为S1=πR^2．
从而，高为H=3V/（πR^2）．
所以，母线长L=√[H^2+ R^2]=√{[3V/(π R^2)]^2+R^2}
又因为底面周长C=2πR，
所以，侧面积S2=(1/2)*C*L=√[（9V)^2/(R^2)+(π^2)(R)^4]．
表面积S=S1+S2=πR^2+√[（9V)^2/(R^2)+(π^2)(R)^4]，
令x=πR^2，则S-x=√[(9πV)^2/x+x^2]，
两边平方 S^2-2S*x+x^2=(9πV)^2/x+x^2，
化简 2S*(x^2)-(S^2)*x+(9πV)^2=0．
把上式看作x的二次方程，因为x是实数，
所以必有 △=[-(S^2)]^2-4*(2S)*(9πV)^2≥0，
即 S^3≥648*(πV)^2
所以表面积S的最小值为Smin=[(648*π^2)^(1/3)]*V^(2/3).
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