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f(x)=ln(2+3x)-3x²/2--->f'(x)=3/(2+3x)-3x

(1) 0≤x≤1
　 令f'(x)=0--->3/(2+3x)=3x--->3x²+2x-1=(x+1)(3x-1)=0
　　　　　　--->x=1/3（x=-1舍去）
　　∵0≤x＜1/3时f(x)＞0，1/3＜x≤1时f(x)＜0
　　--->f(x)有极大值f(1/3)=ln3-1/6

(2) ∵x∈[1/6,1/3]--->3x≤1--->3/(2+3x)≥1
　　--->ln[f´(x)+3x]=ln[3/(2+3x)]≥0.....x=1/3时取“=”
　　--->|a-lnx|+ln[f´(x)+3x]≥0恒成立
　　　　其中："="成立时，|a-ln(1/3)|=0--->a=-ln3
　　--->a的取值范围为a≠-ln3

(3) f(x)=-2x+b--->b=f(x)+2x=g(x)=ln(2+3x)+2x-3x²/2
--->g´(x)=3/(2+3x)+(2-3x)=(7-9x²)/(2+3x)
--->x=√7/3时,g´(x)=0且x＜√7/3时g´(x)＞0,x＞√7/3时g´(x)＜0
--->g(x)在[0,1]上先增后减有极大值g(√7/3)=ln(2+√7)+(4√7-7)/6
∵g(0)=ln2＜g(1)=ln5+1/2
--->g(x)在[0,1]的值域：ln2＜ln5+1/2≤g(x)≤ln(2+√7)+(4√7-7)/6
要使b=g(x)在[0,1]上恰有两个不同实根，必须：
　　　1/2+ln5≤b＜ln(2+√7)+(4√7-7)/6