问题: 初中等腰三角形
试证明有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形。
解答:
这就是著名的斯坦纳--莱默斯定理。
己知 在△ABC中，BE,CF是∠B，∠C的平分线，BE=CF。
求证:AB=AC.
证明 设AB≠AC,不妨设AB>AC，这样∠ACB>∠ABC，
从而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBF。
在△BCF和△CBE中，因为BC=BC, BE=CF，∠BCF>∠CBE.
所以 BF>CE。 (1)
作平行四边形BEGF，则∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF，连CG，
故△FCG为等腰三角形，所以∠FCG=∠FGC。
因为∠FCE>∠FGE，所以∠ECG<∠EGC。
故得 CE>EG=BF. (2)
显然(1)与(2)是矛盾的，故假设AB≠AC不成立，于是必有AB=AC。
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