三棱柱ABC—A1B1C1，底面边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点,M是AC上的动点，EC=2FB=2。若BM∥平面AEF，求BM与EF所成角的余弦值。

三棱柱ABC—A1B1C1，底面边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点,M是AC上的动点，EC=2FB=2。若BM∥平面AEF，求BM与EF所成角的余弦值。

如图
已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC
所以，BB1、CC1⊥底面ABC
取CE中点G，连接FG
则，EG=CG=FB=1
那么，四边形BCGF为矩形
所以，FG=BC=2
那么，在Rt△EGF中，EG=1，FG=2
由勾股定理得到：EF=√5
同理，AF=√5
所以，△FAE为等腰三角形
取AE中点N，AC中点M，连接FN，MN
则，MN为△ACE的中位线
所以，MN//CE//BF
且，MN=CE/2=1
则，MN//==BF
所以，四边形BMNF为平行四边形
则，BM//FN
而，FN包含于面AEF
所以，BM//面AEF
即说明点M为所求
连接BG、MG
因为BF//==EG
所以，四边形BGEF为平行四边形
所以，BG//EF
则，∠MBG即为BM与EF所成的角
BG=EF=√5
在Rt△MCG中，MC=CG=1
所以，由勾股定理得到MG=√2
BM=BC*(√3/2)=2*(√3/2)=√3
所以，在△MBG中：BG^2=BM^2+MG^2=5
所以，△MBG是以∠BMG=90°的直角三角形
则，cos∠MBG=BM/BG=√3/√5=√15/5