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问题: 求|x-p1|-|x-p2|的最小值

求|x-p1|-|x-p2|的最小值(p1,p2是常数)

解答:

记f(x)=|x-p1|-|x-p2|,
记n=min(p1,p2)(即p1,p2二者中较小的一个),
记m=max(p1,p2)(即p1,p2二者中较大的一个),

①当x<n时,f(x)=(p1-x)-(p2-x)=p1-p2;
②当n≤x≤m时,
<i>若p1≤p2,则f(x)=(x-p1)-(p2-x)=2x-(p1+p2),
f(x)最小值为f(p1)=p1-p2≤0;
<ii>若p1>p2,则f(x)=(p1-x)-(x-p2)=p1+p2-2x,
f(x)最小值为f(p1)=p2-p1<0;
③当x>m时,f(x)=(x-p1)-(x-p2)=p2-p1.

【结论】f(x)最小值为 f(p1)=-|p1-p2|.