问题: 高二不等式
已知a,b∈正实数，求证：（a+b）*（a的n次方+b的n次方）≤2（a的[n+1]次方+b的[n+1]次方） （n∈正实数）。
解答:
已知a,b∈正实数，求证：（a+b）*（a^n+b^n）≤2（a^[n+1]+b^[n+1]） （n∈正实数）。
证明：作差法
（a+b）*（a^n+b^n）-2（a^[n+1]+b^[n+1]）
= a^[n+1]+ab^n+a^nb+b^[n+1]-2（a^[n+1]+b^[n+1]）
=ab^n+a^nb-（a^[n+1]+b^[n+1]）
=a^nb-a^[n+1]+ab^n-b^[n+1]
=a^n(b-a)+b^n(a-b)
=a^n(b-a)-b^n(b-a)
=（a^n-b^n）(b-a)
=-（a^n-b^n）(a-b)
∵a^n-b^n与a-b总是同时≥0或≤0
∴a^n-b^n）(a-b)≥0
∴-(a^n-b^n）(a-b)≤0
∴（a+b）*（a^n+b^n）-2（a^[n+1]+b^[n+1]）≤0
∴（a+b）*（a^n+b^n）≤2（a^[n+1]+b^[^[n+1]）
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