已知a的f(x)次方-a的x次方=1 (a>0，且a≠1)。
（1）.求f(x)与f(x)的反函数的表达式及其定义域；
已知：a^f(x)-a^x=1
所以，a^f(x)=a^x+1
所以：f(x)=log<a>(a^x+1)
因为a^x＞0
所以，a^x+1＞1
即，函数f(x)=log<a>(a^x+1)的定义域为R
令：y=f(x)=log<a>(a^x+1)
则，a^x+1=a^y
所以：a^x=a^y-1
即，x=log<a>(a^y-1)
所以：f-1(x)=log<a>(a^x-1)
①当a＞1时，a^x-1＞0
所以，x＞0
②当0＜a＜1时，a^x-1＞0
所以，x＜0
综上：
函数f(x)=log<a>(a^x+1)，定义域为R
函数f(x)的反函数f-1(x)=log<a>(a^x-1)，当a＞1时，定义域为x＞0；当0＜a＜1时，定义域为x＜0
（2）解关于x的不等式 f(x)≥f(2x)的反函数。
由前面知：f(x)=log<a>(a^x+1)
f-1(2x)=log<a>(a^2x-1)
所以，不等式等价于：log<a>(a^x+1)≥log<a>(a^2x-1)
①当a＞1时：
===> a^x+1≥a^2x-1
===> a^2x-a^x-2≤0
===> (a^x-2)(a^x+1)≤0
===> -1≤a^x≤2
因为a^x＞0
===> 0＜a^x≤2
===> x≤log<a>2
而，当a＞1时，反函数的定义域为x＞0
===> 0＜x≤log<a>2
②当0＜a＜1时
===> a^x+1≤a^2x-1
===> a^2x-a^x-2≥0
===> (a^x-2)(a^x+1)≥0
===> a^x≥2，或者a^x≤-1（这不可能）
===> x≤log<a>2
而，当0＜a＜1时，反函数定义域为x＜0
===> x≤log<a>2
