问题: 一道高一数学题求解.
边长为 a 的一块正方形铁皮,每个角截去一个边长为 x 的小正方形,做成一个无盖水箱.问 x 为多少时,水箱容积最大?(注:用微积分求极值或用高等数学的其他方法解,无效,只许用初等数学方法解.)
解答:
设体积为V , 且０＜Ｘ＜a/２，于是依题意，则有:
V＝X(a－２X) ^2
＝４Ｘ^３－４aX^2＋a^2X
＝[４Ｘ^３－４aX^2＋a^2X－（２／２７）a^3 ]＋（２／２７）a^3
＝（１／５４）［２１６Ｘ^３－２１６aX^2＋５４a^2Ｘ－４a^3］
＋（２／２７）a^3
＝（１／５４）［２１６Ｘ^３－３６aX^2－１８０aX^2＋３０a^2Ｘ
＋２４a^2Ｘ－４a^3］＋（２／２７）a^3
＝（１／５４）（６X－a）（３６X^2－３0aＸ＋４a^2）＋（２／２７）a^3
＝（１／５４）（６X－a）（３６X^2－６aＸ－２４aＸ＋４a^2）
＋（２／２７）a^3
＝（１／５４)（６X－a）^2（6X－4a）＋（２／２７）a^3
从上式可看出若要体积Ｖ最大,只要（６X－a）^2（6X－4a）最大：
因为０＜Ｘ＜a/２,所以（6X－4a）＜0恒成立，故只有当（６X－a）^2取最大值０时，（６X－a）^2（6X－4a）＝０最大．
亦即当６X－a＝０时，体积Ｖ最大．
也就是当Ｘ＝a/６时，水箱体积最大，此时最大体积为（２／２７）a^3 ．
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