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问题: 数学几何题

AP为等腰△ABC底边BC上的高,CD为角ACB的平分线,作DE⊥BC于E,又作DF⊥DC与直线BC交于F,求证PE=CF/4

解答:

设AB=AC=b,BC=a,
则BP=a/2,AP=√(AB^2-BP^2)=[√(4b^2-a^2)]/2。

AD/DB=CA/CB=b/a,
DE/AP=BD/BA=a/(a+b),
DE=[a√(4b^2-a^2)]/[2(a+b)]。

PE/PB=AD/AB=b/(a+b),PE=ab/[2(a+b)]。

CE=CP+PE=a/2+ab/[2(a+b)]=(a^2+2ab)/[2(a+b)]。

CD=√(DE^2+CE^2)=a√(ab+2b^2)/(a+b)。

CF=CD^2/CE=2ab/(a+b)=4PE,即 PE=CF/4。