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问题: 高中数列

在等比数列{an}中,已知a1+an=66,a2*an-1=128,Sn=126,求a1,n和公比q.

解答:

在等比数列{an}中,已知a1+an=66,a2*an-1=128,Sn=126,求a1,n和公比q.

因为等比数列中有:a1*an=a2*a<n-1>=a3*a<n-2>=……
所以:a1*an=a2*a<n-1>=128
已知a1+an=66
所以,a1、an为方程x^2-66x+128=0两个实数根
即:(x-2)(x-64)=0
所以:
①a1=2、an=64
设公比为q,则:an=a1*q^(n-1)
所以:q^(n-1)=64/2=32
则,q^n=32q……………………………………………………(1)
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)=126
则:(1-q^n)/(1-q)=126/2=63
===> 1-q^n=63-63q
===> q^n-63q+62=0
将(1)代入===> 32q-63q+62=0
===> q=2
代入(1)式得到,n=6
所以,a1=2、n=6、q=2

②当a1=64、an=2时
设公比为q,则:an=a1*q^(n-1)
所以:q^(n-1)=2/64=1/32
则,q^n=q/32……………………………………………………(2)
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)=126
则:(1-q^n)/(1-q)=126/64=63/32
===> 32-32q^n=63-63q
===> 32q^n-63q+31=0
将(1)代入===> q-63q+31=0
===> q=1/2
代入(1)式得到,n=6
所以,a1=64、n=6、q=1/2