问题: 高三数学题,急用
已知函数f(x)=2^(2x)-(5/2)×2^(x+1)-6,其中x∈[0,3],
(1)求f(x)的最大值和最小值
(2)若实数a满足:f(x)-a≥0恒成立,求a的取值范围
要详细解释
解答:
【1】f(x)=2^(2x)-(5/2)×2^(x+1)-6,
=(2^x)^2-5×2^x-6
=(2^x -5/2)^2 -49/4,x∈[0,3]。
记u=2^x,则 x∈[0,3] 对应于 u∈[1,8],
y=f(x)=(2^x -5/2)^2 -49/4=(u-5/2)^2 -49/4,u∈[1,8]。
根据二次函数 y=(u-5/2)^2-49/4 性质,可知在 u∈[1,8]上 :
①当u=8,即【x=3】时,
y=(u-5/2)^2 -49/4,即 f(x)有【最大值 18】;
②u=5/2,即【x=ln(底2)2.5】 时,
y=(u-5/2)^2 -49/4,即 f(x)有【最小值 -49/4】。
【2】因为 f(x) 在 x∈[0,3] 时,有最小值 -49/4,
所以,仅当 a∈(-∞,-49/4] 时,才能使 f(x)-a≥0 恒成立。
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