问题: 高一数学问题
设函数f(x)=√(ax^2+bx),求满足下列条件的实数a的值:至少有一个正实数b,使函数f(x)的定义域和值域相同
解答:
解：
若a=0,则对每个正数b,f(x)=√bx的定义域和值域都是[0,+∞).
故a=0满足条件.
若a>0,则对每个正数b,f(x)=√(ax²+bx)的定义域
D={x|ax²+bx≥0}=(-∞,-b/a]∪[0,+∞),
但f(x)的值域为[0,+∞)
故定义域和值域不相同,故a>0不合条件.
若a<0,则对每个正数b,f(x)=√(ax²+bx)的定义域
D=[0,-b/a],
由于此时f(x)max=f(-b/2a)=b/2√(-a),
故f(x)的值域为[0,b/2√(-a)]
所以,-b/2a=b/2√(-a)<--->a<0 且 2√(-a)=-a<--->a=-4
综上所述,a的值为0 或 -4.
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